緯度・経度から距離を求める方法

最近、「緯度 経度 距離」などのキーワードで検索されているケースが非常に多いので、地図上での簡単な距離の求め方を説明しておきましょう。ここで説明するのは地球を完全な球体と仮定した場合であり、厳密ではありませんが、通常の使用では十分な精度が得られるものです。単純な三角関数だけで計算できるので、CGIなどのプログラムに組み込むのも容易です。

【注意】ここで紹介する方法は経線の間隔が近似的に平行であると見なせる場合に限り有効です。たとえばGPSログのポイント間の距離など、ごく小さい範囲での移動に適用されます。東京〜ロサンゼルス間の距離と方位を求めるなど、大きな範囲の移動には適用できません。その場合は球面三角法を用いて計算する必要があります。



距離を求めたい２点の座標をそれぞれ(λ1,φ1), (λ2,φ2)とします。ここでλは経度、φは緯度を表します。また２点間の座標の変位を(Δλ, Δφ)とします。

まず、緯度方向の変位Δyについては地球を完全な球体と仮定すれば、緯度の変化に対する円弧の長さで簡単に計算できます。ここで地球の半径として赤道半径A=6378137mを使用すると、Δy = AΔφとなります。なお角度は度ではなくラジアンに変換しなければなりません。1度＝π/180ラジアンです。

一方、経度方向の変化Δxについても同様に経度の変化に対する円弧の長さで計算できますが、この場合、緯度によって円の半径が変化することを考えなければなりません。緯線に沿って地球をスライスしたとすると、その切り口の半径は緯度の余弦に比例します。したがって、Δx = AΔλcosφ1で求められます。ここで代表点としてφ1を採用しましたが、φ2としても実用上は同じことです。

ΔxとΔyが求まれば、２点間の距離Lは三平方の定理により、それぞれの２乗の和の平方根で求められます。

また方位角θはΔy/Δxの逆正接で求めることができます。このとき方位角の基準は真東の方角を0度とします。

実際には地球は完全な球体ではないため、厳密に言うと誤差が生じますが、赤道半径と極半径の差は21km程度であるため、日本国内で使用する程度であればほとんど問題になりません。もう少し厳密にやりたいのなら、日本付近における地球の半径を回転楕円体モデルから計算すればできるはずです。また図では経線は平行であるとして長方形を描きましたが、実際は経線は極に向かって収束するため、台形になります。しかし、ごく短い距離で使うのであれば長方形と考えてもまったく問題はないわけです。厳密に計算した結果と比較してみると、1分あたりの距離で誤差はせいぜい5〜6m程度に過ぎませんでした。割合から言うと0.3パーセント程度ですから、十分実用になる精度と言えるでしょう。

座標変換とかえらいめんどくさいことをやりましたけど、ポイントを間引く程度の使い方であればこれで何の問題もないのでした。(^_^;